§ 12

El saber, que según acabo de explicar tiene su opuesto contradictorio en el concepto de sentimiento, es, como se dijo, todo conocimiento abstracto, es decir, conocimiento racional. Pero dado que la razón no hace más que volver a presentar ante el conocimiento lo que antes se ha sentido de otro modo, no amplía verdaderamente nuestro conocer sino que simplemente le da otra forma. En efecto, lo que fue conocido intuitivamente, in concreto, lo da a conocer en abstracto y universalmente. Mas eso es incomparablemente más importante de lo que, así expresado, pudiera parecer a primera vista. Pues la conservación, la comunicación y la aplicación segura y amplia del conocimiento a la práctica dependen en su totalidad de su conversión en un saber, en un conocimiento abstracto. El conocimiento intuitivo no vale nunca más que del caso particular, llega solamente a lo más cercano y se queda ahí, ya que la sensibilidad y el entendimiento solo pueden captar un objeto a la vez. Toda actividad sostenida, compleja o planificada tiene, pues, que partir de principios, de un saber abstracto, y guiarse por él. Así, por ejemplo, el conocimiento de la relación de causa y efecto que posee el entendimiento es en sí mucho más perfecto, profundo y exhaustivo de lo que sobre ella se pueda pensar in abstracto: solo el entendimiento conoce intuitiva, inmediata y perfectamente la forma de actuar de una palanca, una polea o una rueda dentada, el descanso de una bóveda sobre sí misma, etc. Pero debido a la mencionada propiedad del conocimiento intuitivo de llegar solo a lo inmediatamente presente, el mero entendimiento no basta para construir máquinas y edificios: antes bien, es necesario que aquí comparezca la razón, que sustituya las intuiciones por conceptos abstractos y tome estos como pauta de acción; y si son correctos, se logrará el resultado. Del mismo modo, en la intuición pura conocemos perfectamente la esencia y legalidad de una parábola, una hipérbole o una espiral; pero para dar una aplicación segura a ese conocimiento en la realidad, tiene que convertirse en saber abstracto, con lo que pierde, desde luego, el carácter intuitivo pero a cambio gana la seguridad y precisión del saber abstracto. Así pues, el cálculo diferencial no amplía en realidad nuestro conocimiento de las curvas ni contiene más que la mera intuición pura de las mismas; pero cambia el tipo de conocimiento, convierte el conocimiento intuitivo en abstracto, lo cual tiene enormes consecuencias de cara a la aplicación. Pero aquí sale a colación una peculiaridad de nuestra facultad de conocer que no se ha podido observar mientras no se ha hecho totalmente clara la distinción entre conocimiento intuitivo y abstracto. Se trata de esta: que las relaciones espaciales no se pueden trasladar inmediatamente y como tales al conocimiento abstracto, sino que solo son susceptibles de eso las magnitudes temporales, es decir, los números. Únicamente los números pueden ser expresados en conceptos abstractos que se corresponden exactamente con ellos, no así las magnitudes espaciales. El concepto «mil» tiene respecto del concepto «diez» exactamente la misma diferencia que poseen las dos magnitudes temporales en la intuición: con «mil» pensamos una determinada repetición de diez en la que podemos resolver a voluntad aquella cifra para la intuición en el tiempo, es decir, podemos contarla. Pero entre el concepto abstracto de una milla y el de un pie, al margen de cualquier representación intuitiva de ambos y sin recurrir a los números, no existe ninguna diferencia exacta que se corresponda con aquellas magnitudes. En ambas se piensa en general una simple magnitud espacial, y para diferenciarlas suficientemente hay que recurrir a la intuición espacial, o sea, abandonar el terreno del conocimiento abstracto, o pensar la diferencia en números. Así que si se quiere tener un conocimiento abstracto de las relaciones espaciales, hay que traducirlas primero a relaciones temporales, es decir, a números: por eso solamente la aritmética, y no la geometría, es una teoría general de las magnitudes, y la geometría ha de traducirse a aritmética si ha de tener carácter transmisible, exacta definición y aplicabilidad a la práctica. Ciertamente, una relación espacial puede pensarse como tal también in abstracto, por ejemplo, «el seno aumenta en proporción al ángulo»; pero si se ha de indicar la medida de esa relación se necesitan números. Esa necesidad de que el espacio, con sus tres dimensiones, se traduzca en el tiempo, que solo tiene una dimensión, si se quiere tener un conocimiento abstracto (es decir, un saber, no una mera intuición) de sus relaciones, esa necesidad es la que hace tan difícil la matemática. Eso se hace muy claro cuando comparamos la intuición de las curvas con el cálculo analítico de las mismas, o simplemente las tablas de los logaritmos de las funciones trigonométricas con la intuición de las relaciones variables de las partes del triángulo que aquellos expresan: lo que la intuición capta aquí de un vistazo, perfectamente y con manifiesta exactitud, a saber, cómo disminuye el coseno al aumentar el seno, cómo el coseno de un ángulo es el seno de otro, la relación inversa de la disminución y aumento de ambos ángulos, etc., ¡qué enorme entramado de números, qué fatigoso cálculo no se necesita para expresarlo in abstracto! ¡Cómo —podría decirse— no ha de atormentarse el tiempo con su dimensión única para reproducir el espacio con sus tres dimensiones! Pero eso sería necesario si, a efectos de la aplicación, quisiéramos tener las relaciones espaciales depositadas en conceptos abstractos: no podemos introducir aquellas en estos inmediatamente sino solo con la mediación de la magnitud puramente temporal, del número, único que se vincula inmediatamente al conocimiento abstracto. Todavía hay que observar que, si el espacio es tan apropiado para la intuición y a través de sus tres dimensiones permite abarcar con facilidad incluso relaciones complicadas, mientras que se sustrae al conocimiento abstracto, el tiempo, a la inversa, se adapta fácilmente a los conceptos abstractos y, por el contrario, ofrece muy poco a la intuición: nuestra intuición de los números en su elemento propio, el mero tiempo, y sin referencia al espacio, apenas llega hasta diez; más allá de eso tenemos solo conceptos abstractos y no conocimiento intuitivo de los números: en cambio, vinculamos conceptos abstractos exactamente definidos a cada cifra y a todos los signos algebraicos.