§ 15

Si, convencidos de que la intuición es la fuente primera de toda evidencia, de que solo la relación inmediata o mediata con ella es una verdad absoluta, de que además el camino más cercano a esta es el más seguro porque toda mediación de conceptos está expuesta a muchos engaños; si con esta convicción nos dirigimos a la matemática tal y como se estableció como ciencia con Euclides y ha permanecido en su conjunto hasta nuestros días, no podemos menos de encontrar extraño e incluso erróneo el camino que sigue. Nosotros exigimos que toda fundamentación lógica se reduzca a una intuitiva; ella, en cambio, se esfuerza con gran empeño en rechazar deliberadamente la evidencia intuitiva que es propia de ella y siempre cercana, para sustituirla por una evidencia lógica. Tenemos que pensar que eso es como si alguien se cortase las piernas para andar con muletas o como si en el Triunfo de la sensibilidad^[79] el príncipe huyera de la belleza real de la naturaleza para regocijarse en una decoración teatral que la imitara. — He de recordar aquí lo que dije en el sexto capítulo del tratado Sobre el principio de razón y supongo que el lector lo tiene fresco en la memoria y plenamente presente; de modo que vinculo a ello mis presentes observaciones sin explicar de nuevo la diferencia entre la simple razón cognoscitiva de una verdad matemática, que se puede dar lógicamente, y la razón del ser, que es la conexión inmediata de las partes del espacio y el tiempo, cognoscible solo intuitivamente; únicamente la comprensión de esta ofrece verdadera satisfacción y un conocimiento profundo, mientras que la mera razón del conocimiento se queda siempre en la superficie y puede proporcionar un saber de que eso es así, mas no de por qué lo es. Euclides siguió este último camino para claro perjuicio de la ciencia. Pues, por ejemplo, ya al comienzo debería mostrar de una vez por todas cómo en el triángulo los ángulos y los lados se determinan mutuamente y son razón y consecuencia unos de otros de acuerdo con la forma que tiene el principio de razón en el mero espacio y que ahí, como en todo, genera la necesidad de que una cosa sea como es porque otra distinta de ella es como es; sin embargo, en lugar de ofrecer una profunda comprensión de la esencia de él, formula algunos principios incoherentes y elegidos a voluntad acerca del triángulo, y ofrece una razón cognoscitiva lógica del mismo por medio de una laboriosa demostración lógica guiada conforme al principio de contradicción. En lugar de un conocimiento exhaustivo de esas relaciones espaciales, se obtienen únicamente algunos resultados de las mismas comunicados a voluntad; y así nos encontramos como alguien a quien se le hubieran mostrado los efectos de una máquina artificial pero ocultándole su conexión interna y sus mecanismos. Que lo que Euclides demostró es así hemos de admitirlo forzados por el principio de contradicción: pero de por qué es así, no nos enteramos. De ahí que tengamos casi la misma desagradable sensación que después de un juego de prestidigitación, y de hecho la mayoría de las demostraciones euclideanas son claramente semejantes a eso. Casi siempre la verdad entra por la puerta trasera, al resultar per accidens de alguna circunstancia accesoria. Con frecuencia una reducción al absurdo^[80] cierra todas las puertas una tras otra, y no deja abierta más que aquella en la que, solo por eso, hay que entrar. A menudo, como en el teorema de Pitágoras, se trazan líneas sin que se sepa por qué: posteriormente se muestra que eran lazos que se corren inesperadamente y capturan el asentimiento del estudioso, quien entonces ha de admitir sorprendido lo que en su conexión interna le sigue resultando incomprensible, tanto que puede estudiar a Euclides de principio a fin sin conseguir penetrar verdaderamente en las leyes de las relaciones espaciales, y en lugar de ello se limita a aprender de memoria algunos resultados de las mismas. Ese conocimiento realmente empírico y acientífico se asemeja al del médico, que conoce la enfermedad y el remedio pero no la conexión entre ambos. Mas todo eso es la consecuencia de rechazar caprichosamente la forma de fundamentación y de evidencia propia de un tipo de conocimiento, y en su lugar introducir a la fuerza otra ajena a su esencia. No obstante, el modo en que Euclides lo lleva a cabo merece toda la admiración de la que ha sido objeto durante tantos siglos y que ha llegado hasta el punto de considerar su método matemático como el modelo de toda exposición científica; conforme a él se procuró modelar todas las demás ciencias, si bien más tarde se volvió atrás sin saber muy bien por qué. Sin embargo, a nuestros ojos aquel método de Euclides en las matemáticas solo puede aparecer como una magnífica equivocación. Si bien se puede demostrar que todos los grandes errores, desarrollados intencionada y metódicamente, y acompañados del aplauso generalizado, afecten a la vida o a la ciencia, tienen su razón en la filosofía dominante en su tiempo. — Los eleatas habían sido los primeros en descubrir la diferencia y hasta manifiesta oposición entre lo intuido, 85 φαινομενον, y lo pensado, νοούμενον^[81], y lo habían utilizado de múltiples maneras para sus filosofemas y sofismas. A ellos siguieron después los megáricos, dialécticos, sofistas, neo-académicos y escépticos; estos llamaron la atención sobre la ilusión, es decir, el engaño de los sentidos, o más bien del entendimiento que transforma los datos de aquellos para la intuición; ese engaño nos hace ver con frecuencia cosas cuya realidad niega la razón con seguridad, por ejemplo, el bastón quebrado en el agua y otras cosas similares. Se sabía que la intuición sensorial no es totalmente de fiar y se concluyó precipitadamente que solo el pensamiento lógico de la razón fundamenta la verdad; si bien Platón (en el Parménides), los megáricos, Pirrón y los neo-académicos mostraron con ejemplos (al modo como después lo hiciera Sexto Empírico) cómo también, por otro lado, los razonamientos y conceptos conducían a error e incluso daban lugar a paralogismos y sofismas que son mucho más fáciles de producir y mucho más difíciles de resolver que la ilusión en la intuición sensorial. Entretanto se impuso el racionalismo nacido en oposición al empirismo, y conforme a él elaboró Euclides la matemática, es decir, basando solamente los axiomas, y por necesidad, en la evidencia intuitiva (φαι,νόμενον), y todo lo demás en razonamientos (νοούμενον). Su método siguió prevaleciendo durante siglos, y tuvo que ser así mientras no se distinguiese la intuición pura a priori de la empírica. Ciertamente, ya Proclo, el comentador de Euclides, parece haber conocido perfectamente esa distinción, tal y como muestra el pasaje de aquel comentario que Kepler tradujo al latín en su libro De harmonía mundi: solo que Proclo no dio suficiente importancia al asunto, lo planteó de forma demasiado aislada, no se le prestó atención y no transcendió. Solo dos mil años después la doctrina kantiana, destinada a suscitar tan grandes transformaciones en todo el saber, pensar y actuar de los pueblos europeos, la produciría también en las matemáticas. Pues hasta que no hemos aprendido de ese gran espíritu que las intuiciones del espacio y el tiempo son totalmente distintas de las empíricas e independientes de toda impresión sensorial, que no están condicionadas por ella sino que la condicionan, es decir, son a priori y por eso no están expuestas al engaño de los sentidos, hasta entonces no hemos podido comprender que el tratamiento lógico de la matemática que hace Euclides es una inútil precaución, una muleta para piernas sanas, y que se asemeja a un caminante que en la noche, tomando un firme camino iluminado por un arroyo, se guarda de pisarlo y camina siempre a su vera sobre un suelo accidentado, contentándose con topar de tramo en tramo con el supuesto arroyo. Solo ahora podemos afirmar con seguridad que lo que en la intuición de una figura se nos manifiesta como necesario no procede de la figura trazada sobre el papel, quizá de forma deficiente, ni tampoco del concepto abstracto que ahí pensamos, sino que nace inmediatamente de la forma de todo conocimiento de la que tenemos conciencia a priori: esa forma es siempre el principio de razón: aquí, en cuanto forma de la intuición, es decir, del espacio, es el principio de razón del ser; pero su evidencia y validez es tan grande e inmediata como la del principio de razón del conocer, es decir, la certeza lógica. Así que para dar crédito únicamente a esta última no necesitamos ni debemos abandonar el dominio propio de las matemáticas y acreditarlas en otro totalmente ajeno a ellas, el de los conceptos. Si nos mantenemos en el terreno propio de las matemáticas obtenemos la gran ventaja de que en ella saber que algo es así es lo mismo que saber por qué lo es, en lugar de separar totalmente ambas cosas, como hace el método de Euclides, y poder conocer solo la primera y no la última. Pero de forma excelente dice Aristóteles en los Analyt. post. I, 27: Ακριβέστερα δ’ επιστήμη επιστήμης και προτερα ήτε του οτι και του διότι ή αυτή, αλλα μή χωρίς του οτι τής του διότι^[82] (Subtilior autem et praestantior ea est scientia, qua quod aliquid sit, et cur sit una simulque intelligimus, non separatim quod, et cur sit). Sin embargo, en la física solo estamos satisfechos cuando el conocimiento de que algo es así va unido al de por qué lo es: que el mercurio en el tubo de Torricelli tiene una altura de 28 pulgadas es un mal saber si no se le añade que está retenido por el contrapeso del aire. ¿Pero en la matemática ha de bastarnos la qualitas occulta del círculo por la cual los sectores de cada dos senos que se cortan en él forman siempre rectángulos iguales? Que eso es así lo demuestra Euclides en la proposición 35 del tercer libro: el porqué está todavía por ver. Igualmente, el teorema de Pitágoras nos da a conocer una qualitas occulta del triángulo rectángulo: la demostración de Euclides, coja y hasta capciosa, nos abandona en el porqué; y la sencilla figura adjunta, ya conocida, ofrece de un vistazo, en mucho mayor medida que aquella demostración, la comprensión del asunto y una íntima convicción interna de aquella necesidad y de la dependencia de aquella propiedad respecto del ángulo recto: